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子博弈完美均衡（Subgame Perfect Equilibrium, SPE）
子博弈完美均衡（SPE）是纳什均衡（Nash Equilibrium）的一种强化形式，专门用于动态博弈（Dynamic Games），特别是那些包含多个决策阶段的博弈。SPE要求在**每一个可能的子博弈（Subgame）**中，策略都必须是一个纳什均衡。
1. 子博弈完美均衡的定义
一个策略组合构成子博弈完美均衡，当且仅当它在博弈的每一个可能的子博弈中都形成纳什均衡，即：
?玩家在每一步都必须选择最优策略，不论游戏是否已经按照这个路径进行。
?通过**逆向归纳法（Backward Induction）**来求解SPE。
SPE解决了纳什均衡可能包含不可信威胁的问题。例如，在某些博弈中，某些威胁在理性情况下根本不会被执行，而纳什均衡可能会包含这些威胁。而SPE要求策略在所有子博弈中都合理，因此排除了这些不可信的威胁。
2. SPE的求解方法：逆向归纳法
求解子博弈完美均衡的主要方法是逆向归纳法（Backward Induction），步骤如下：
1.从最后一个决策节点（终局）开始，找出最优策略。
2.回溯到前一个决策节点，在考虑后续最优策略的情况下，找到当前的最优选择。
3.依次回溯，直到回到博弈的起点，最终得出整个博弈的最优策略组合，即SPE。
3. 经典案例分析
(1) 讨价还价博弈（Rubinstein Bargaining Game）
场景：
?两个玩家A和B协商如何分配100元。
?A先出价，B可以接受或拒绝：
?接受：按A的分配方案执行。
?拒绝：进入下一轮，由B出价，但总金额减少（如因折现或时间成本，变为90元）。
?这个过程可以继续，直到某一方接受提议。
解法（逆向归纳法）：
1.在最后一轮，B必须接受任何非零金额，因为否则大家都拿不到钱。
2.在倒数第二轮，A知道B在下一轮会接受，因此A会给B最少的钱，以确保自己利益最大化。
3.依次回溯，最终得出SPE，A在第一轮出一个合理的价钱让B接受，而B接受，因为等待对B来说更不划算。
(2) 进入威胁博弈（Entry Deterrence Game）
场景：
?新企业E考虑进入市场，已有企业I可以选择降价竞争（Fierce）或维持高价（Acmodate）。
?如果E不进入，I赚15，E赚0。
?如果E进入：
?I选择降价，I 和 E 都亏损 -10。
?I选择高价，I赚10，E赚5。
解法（逆向归纳法）：
𝐵i 𝑄u 𝐵𝘼.v i 𝑃